выпуклые фигуры это определение

Выпуклые фигуры это определение

Выпуклой называется такая фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые ее две точки. Выпуклыми фигурами являются, например, круг, шар, треугольник; четырехугольники могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (рис. 1).

Справедливо такое утверждение: «Общая часть двух выпуклых фигур вновь является выпуклой фигурой». Его вы сможете доказать сами, считая пустое множество выпуклой фигурой. Еще одно важное свойство плоской выпуклой фигуры: через каждую точку на ее границе можно провести прямую (она называется опорной прямой) так, что вся фигура будет лежать по одну сторону от этой прямой (рис. 2).

Верно и обратное утверждение: если через каждую точку границы некоторой плоской фигуры можно провести опорную прямую, то эта фигура является выпуклой. Таким образом, существование опорных прямых можно принять за определение плоской выпуклой фигуры.

Для выпуклых тел опорные плоскости определяются аналогично (рис. 3).

Наличие опорных прямых и плоскостей у выпуклых фигур является фактом довольно очевидным. Гораздо менее очевиден следующий факт, открытый в 1913г. австрийским математиком Э. Хелли: «Если из нескольких заданных на плоскости выпуклых фигур каждые три имеют общую точку, то тогда существует точка, принадлежащая всем этим фигурам». Требование выпуклости в этом утверждении существенно. Действительно, на рис. 4

изображены четыре фигуры, из которых лишь одна невыпукла, однако хотя у любых трех из них есть общая точка, но нет точки, общей всем четырем фигурам. Для выпуклых тел (в пространстве) теорема Хелли в приведенном виде неверна. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть четыре треугольника, образующих грани треугольной пирамиды. Однако если потребовать, чтобы у системы выпуклых тел в пространстве каждые четыре тела имели общую точку, то тогда и все эти тела будут иметь общую точку. Теорема Хелли в соответствующей формулировке была доказана для пространства произвольного числа измерений и в этом виде оказалась очень полезной во многих математических исследованиях.

В последнее время понятие выпуклости получило широкое распространение в математике, особенно в ее прикладных областях. Появились «выпуклый анализ» и «выпуклое программирование». результаты которых облегчают поиск решений (особенно на ЭВМ) многих важных практических задач экономики, управления и других областей. Одним из самых интересных разделов геометрической теории выпуклых фигур является теория кривых постоянной ширины. Так называют кривую, ограничивающую такую выпуклую фигуру на плоскости, для которой расстояние между каждой парой параллельных опорных прямых равно одному и тому же постоянному числу h.

Простейшей кривой постоянной ширины является окружность, но трудно представить себе другую кривую с таким свойством. Первым такую кривую нашел не математик, а французский механик Ф. Рело. Это равносторонний криволинейный треугольник, стороны которого являются дугами окружностей с центрами в вершинах этого треугольника (рис. 5). Из рис. 6

нетрудно понять способы построения двух других кривых постоянной ширины. Интересно, что длина любой кривой постоянной ширины h равна πh.

Кривые постоянной ширины имеют многочисленные практические применения. На рис. 7

изображен механизм, состоящий из подвижной рамки, способной подниматься и опускаться, и треугольника Рело, который может вращаться вокруг своей вершины О. При таком вращении рамки 1/6 часть периода полного оборота находится в нижнем положении, потом 1/3 периода поднимается вверх, далее неподвижно стоит там еще 1/6 периода и за последние 1/3 периода опускается вниз. Такое движение часто бывает необходимым, например, в киносъемочных аппаратах и кинопроекторах.

Треугольник Рело как и любая кривая постоянной ширины h, может вращаться внутри полосы ширины h, как в описанном механизме, постоянно касаясь обеих прямых, более того, он может вращаться внутри квадрата со стороной h, касаясь одновременно всех четырех его сторон.

В отличие от круга, который при вращении продолжает касаться каждой прямой в одной и той же точке, этот двуугольник при вращении входит в соприкосновение последовательно и со всеми точками границы треугольника. Это его свойство позволило сконструировать механизм, позволяющий высверлить отверстия треугольной формы.

Источник

Выпуклые фигуры это определение

Одним из важнейших классов тел является класс выпуклых тел. Перед тем как рассказать о нем, познакомимся с более общим понятием выпуклой фигуры.

Фигура называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя своими точками она содержит и соединяющий их отрезок (рис. 10.6).

Точка и пустое множество (фигура, не имеющая точек) считаются выпуклыми фигурами.

Примеры выпуклых фигур: отрезок, луч, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, круг, все пространство, полупространство, шар (рис. 10.7). Докажем, например, что круг — выпуклая фигура.

Рассмотрим круг D радиуса R с центром О (рис. 10.8). Возьмем любые две точки . Тогда Возьмем любую точку Z на отрезке XY. Тогда выполняется хотя бы одно из двух неравенств: или (так как хотя бы один из смежных углов OZX и OZY не острый). Поскольку то и , т. е. . А это значит, что отрезок XY содержится в круге , т.е. круг D — выпуклая фигура.

Докажем несколько предложений о выпуклых фигурах. Начнем с самого важного из них.

Предложение 1. Пересечение (общая часть) любых двух выпуклых фигур есть выпуклая фигура, и вообще, пересечение любой совокупности выпуклых фигур есть выпуклая фигура.

Пусть — две выпуклые фигуры и F — их пересечение (рис. 10.9). Если две точки принадлежат фигуре F, то значит они принадлежат и фигурам . А тогда по выпуклости фигуры она содержит отрезок АВ. Аналогично, содержит отрезок АВ. Поэтому отрезок АВ содержится и в , т. е., в фигуре F. Итак, отрезок, соединяющий любые две

точки А и В фигуры F, содержится в F, т. е., фигура F — выпуклая фигура.

В случае пересечения любой совокупности выпуклых фигур доказательство то же, но следует говорить не о двух фигурах, а сразу о фигурах всей совокупности. Повторите это доказательство еще раз.

Замечание. В частности, пересечение данных фигур может быть пустым или одноточечным множеством. Если бы пустое и одноточечное множества не считались выпуклыми, то эти случаи надо было бы исключить из теоремы и ее нельзя было бы формулировать так кратко.

Предложение 1 позволяет получать выпуклые фигуры путем пересечения каких-либо выпуклых фигур. Например, треугольник ABC можно получить пересечением трех полуплоскостей, на границах которых лежат две вершины треугольника и внутри них — третья вершина (рис. 10.10). Часто используются и следующие три утверждения.

Предложение 2. Пересечение выпуклой фигуры с плоскостью является выпуклой фигурой (рис. 10.11).

Оно вытекает из предложения 1 и выпуклости плоскости.

Предложение 3. Каждая плоскость разбивает любую выпуклую фигуру на две выпуклые фигуры (рис. 10.11). Каждая из них есть пересечение исходной выпуклой фигуры с полупространством, ограниченным данной плоскостью.

Отметим, что точки исходной фигуры, лежащие в этой плоскости, относятся к каждой из полученных выпуклых фигур.

Предложение 4. Проекция выпуклой фигуры на плоскость есть выпуклая фигура.

Действительно, пусть F — выпуклая фигура и F — ее проекция на плоскость а (рис. 10.12). Возьмем любые две точки А и В фигуры F. Они являются проекциями некоторых точек А и В фигуры F. Поскольку F — выпуклая фигура, то отрезок АВ содержится в фигуре F. Значит проекция отрезка АВ — отрезок АВ — содержится в фигуре F, т. e., F— выпуклая фигура.

Отметим также, что цилиндр и конус выпуклы тогда и только тогда, когда их основания — выпуклы. Докажем это, например, для цилиндра.

Следует доказать два утверждения:

1) если цилиндр выпуклый, то его основание — выпукло;

2) если основание цилиндра выпукло, то и сам цилиндр выпуклый.

Первое утверждение непосредственно вытекает из предложения 2, так как основание цилиндра является пересечением цилиндра с плоскостью этого основания.

Докажем второе утверждение. Пусть основание F цилиндра С выпукло (рис. 10.13). Возьмем в цилиндре любые две точки А и В и проведем через них образующие и . Если А и В лежат на одной образующей, то отрезок А В лежит в цилиндре С. Поэтому будем считать, что образующие различны. Концы этих образующих, лежащие в F, — точки X и Y — являются концами отрезка XY, лежащего в F, так как основание F — выпукло.

Поэтому все отрезки , исходящие из точек Z отрезка XY, параллельные и равные отрезку , являются образующими цилиндра С. Следовательно, параллелограмм содержится в цилиндре С.

Так как отрезок АВ содержится в параллелограмме XXY Y, то отрезок А В содержится в С. Итак, цилиндр С выпуклый.

Источник

Выпуклые фигуры это определение

Верно и обратное утверждение: если через каждую точку границы некоторой плоской фигуры можно провести опорную прямую, то эта фигура является выпуклой. Таким образом, существование опорных прямых в каждой граничной точке можно принять за определение плоской выпуклой фигуры.

Для выпуклых тел опорные плоскости определяются аналогично (рис. 3).

Наличие опорных прямых и плоскостей у выпуклых фигур является фактом довольно очевидным. Гораздо менее очевиден следующий факт, открытый в 1913 г. австрийским математиком Э. Хелли: «Если из нескольких заданных на плоскости выпуклых фигур каждые три имеют общую точку, то тогда существует точка, принадлежащая всем этим фигурам». Требование выпуклости в этом утверждении существенно. Действительно, на рис. 4 изображены четыре фигуры, из которых лишь одна невыпукла, однако хотя у любых трех из них есть общая точка, но нет точки, общей всем четырем фигурам.

Для выпуклых тел (в пространстве) теорема Хелли в приведенном виде неверна. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть четыре треугольника, образующих грани треугольной пирамиды. Однако если потребовать, чтобы у системы выпуклых тел в пространстве каждые четыре тела имели общую точку, то тогда и все эти тела будут иметь общую точку. Теорема Хелли в соответствующей формулировке была доказана для пространства произвольного числа измерений и в этом виде оказалась очень полезной во многих математических исследованиях.

В последнее время понятие выпуклости получило широкое распространение в математике, особенно в ее прикладных областях. Появились «выпуклый анализ» и «выпуклое программирование», результаты которых облегчают поиск решений (особенно на ЭВМ) многих важных практических задач экономики, управления и других областей. Одним из самых интересных разделов геометрической теории выпуклых фигур является теория кривых постоянной ширины. Так называют кривую, ограничивающую такую выпуклую фигуру на плоскости, для которой расстояние между каждой парой параллельных опорных прямых равно одному и тому же постоянному числу .

Кривые постоянной ширины имеют многочисленные практические применения. На рис. 7 изображен механизм, состоящий из подвижной рамки, способной подниматься и опускаться, и треугольника Рело, который может вращаться вокруг своей вершины . При таком вращении рамки часть периода полного оборота находится в нижнем положении, потом периода поднимается вверх, далее неподвижно стоит там еще периода и за последние периода опускается вниз. Такое движение часто бывает необходимым, например, в киносъемочных аппаратах и кинопроекторах.

Треугольник Рело, как и любая кривая постоянной ширины , может вращаться внутри полосы ширины , как в описанном механизме, постоянно касаясь обеих прямых, более того, он может вращаться внутри квадрата со стороной , касаясь одновременно всех четырех его сторон.

А существуют ли такие выпуклые фигуры, которые могут вращаться внутри, скажем, равностороннего треугольника, постоянно касаясь всех его сторон? Одну такую фигуру вы знаете – это вписанный круг. А еще? Оказывается, таким свойством обладает пересечение двух кругов одинакового радиуса, расположенных так, что центр каждого из них лежит на границе другого (рис. 8). В отличие от круга, который при вращении продолжает касаться каждой прямой в одной и той же точке, этот двуугольник при вращении входит в соприкосновение последовательно и со всеми точками границы треугольника. Это его свойство позволило сконструировать механизм, позволяющий высверливать отверстия треугольной формы.

Источник

Выпуклые фигуры это определение

В этой главе собраны некоторые важные для дальнейшего предложения элементарной геометрии. Основное место здесь занимают довольно известные понятия и теоремы, которые включены в книгу лишь для большей полноты. Однако глава I содержит также и несколько более специальных предложений, к которым относятся, например, связанные с треугольником неравенства, составляющие содержание § 5; перенесениг этих предложений на случай пространства было бы достаточно интересно.

§ 1. Выпуклые фигуры

Плоское точечное множество Р называется выпуклым, если каждый отрезок, соединяющий две точки Р, принадлежит Р. Ограниченное, замкнутое, выпуклое плоское точечное множество, имеющее внутренние точки, мы будем называть выпуклой фигурой. Граничные точки выпуклой фигуры О составляют выпуклую кривую, которую иногда короче называют овалом. Прямая, которая содержит по крайней мере одну граничную точку G, но не содержит внутренних точек G, есть опорная прямая G; принадлежащая опорной прямой граничная точка G иногда называется опорной точкой. Если опорная прямая содержит единственную опорную точку G или если через опорную точку проходит единственная опорная прямая, то мы говорим о касательной, соответственно о точке касания.

Выпуклой оболочкой (наименьшей) произвольно заданного точечного множества М называется выпуклое точечное множество Р, которое содержит М, причем такое, что никакое отличное от Р выпуклое подмножество Р уже не содержит М,

Выпуклый многоугольник можно определить как выпуклую оболочку (минимум трех) компланарных, но не коллинеарных точек. Если все стороны и все углы выпуклого многоугольника раьны, то он называется правильным.

Выпуклый многоугольник Р вписан в выпуклую фигуру G, если вершины Р суть опорные точки G; аналогично выпуклый многоугольник Р описан около G, если стороны Р суть опорные прямые G. Наибольший круг, целиком заключающийся в области G, Называется вписанным кругом; наименьший круг, содержащий G внутри себя, называется описанным кругом. В то время как описанный круг у выпуклой фигуры может быть только один, вписанных кругов фигура может иметь много [1].

Совершенно аналогично можно определить выпуклое тело в пространстве, а также выпуклую поверхность, выпуклый многогранник, опорную плоскость и вписанный и описанный шары.

В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с выпуклыми фигурами или телами. Для них имеют смысл обычные понятия площади или объема, которые мы будем обозначать той же буквой, которой обозначим саму фигуру ил тело. Далее, каждая ограниченная выпуклая фигура (выпуклое тело) имеет определенный периметр (площадь поверхности), который мы будем обозначать той же буквой, что и выпуклую кривую, ограничивающую эту фигуру (выпуклую поверхность, ограничивающую тело).

Пересечение двух фигур (или тел) Т и U мы будем обозначать через TU. При этом число всегда означает величину площади (объема) пересечения фигур (тел) Т и в противоположность этому произведение площадей (объемов) Т и мы будем обозначать через

Мы определим еще параллельную оболочку ширины выпуклой фигуры Т как множество точек всех кругов радиуса , центры которых принадлежат Т. Имеет место следующая важная формула:

где L означает периметр Т.

Если Т — выпуклый многоугольник, то формула (1) почти очевидна. В этом случае параллельная оболочка состоит из следующих частей:

1) сам многоугольник Т;

2) прямоугольники высоты , построенные на сторонах Т; их общая площадь равна

3) секторы, из которых можно сложить целый круг радуса ; их общая площадь равна .

Отсюда уже следует, что наше утверждение справедливо и в общем случае, поскольку каждую выпуклую фигуру приближенно можно заменить выпуклым многоугольником.

Соответствующая формула для параллельной оболочки выпуклого тела V выгляд следующим образом:

Здесь F означает поверхность тела V, а так называемый интеграл средней кривизны.

Если тело V ограничено достаточно гладкой выпуклой поверхностью F, то

где — главные радиусы кривизны F в какой-то точке, a -элемент площади поверхности этой же точке [2]. Если же F, кроме того, имеет еще и «ребра», то к выписанному выше интегралу приходится прибавить дополнительный член

где а — угол при ребре, отвечающий элементу ребра т. е. угол, который образуют внешние нормали поверхностных элементов F, примыкающих к этому элементу ребра.

Если V есть выпуклый многогранник, то формулу (2) легко получить прямым подсчетом объема тела ; при этом величина М в формуле (2) будет иметь следующий смысл:

— длина ребра, а — угол при этом ребре, дополняющий двугранный угол многогранника до , и суммирование производится по всем ребрам.

Поэтому Штейнер предложил называть эту величину М для многогранника кривизной ребер (Kanterkriimmung)

Для того, чтобы вывести из справедливости формулы (2) для многогранника ее справедливость в общем случае, надо показать, что если последовательность выпуклых многогранников сходится (в каком-то определенном смысле) к заданной гладкой криволинейной поверхности, то кривизны ребер этих многогранников стремятся к интегралу средней кривизны поверхности. Мы не задержимся на доказательстве этого утверждения, так как оно нам нигде в последующем не понадобится. Однако мы считаем уместным упомянуть здесь о формуле (2), так как она показывает значение трех основных характеристик выпуклого тела, а именно объема V, поверхности F и интеграла средней кривизны М.

Источник